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已知實數a,b,c,d滿足
a-2ea
b
=
2-c
d
=1,其中e是自然對數的底數,則(a-c)2+(b-d)2的最小值為(  )
A、4B、8C、12D、18
考點:兩點間的距離公式
專題:直線與圓
分析:由已知得點(a,b)在曲線y=x-2ex上,點(c,d)在曲線y=2-x上,(a-c)2+(b-d)2的幾何意義就是曲線y=x-2ex到曲線y=2-x上點的距離最小值的平方.由此能求出(a-c)2+(b-d)2的最小值.
解答:解:∵實數a,b,c,d滿足
a-2ea
b
=
2-c
d
=1,∴b=a-2ea,d=2-c,
∴點(a,b)在曲線y=x-2ex上,點(c,d)在曲線y=2-x上,
(a-c)2+(b-d)2的幾何意義就是曲線y=x-2ex到曲線y=2-x上點的距離最小值的平方.
考查曲線y=x-2ex平行于直線y=2-x的切線,
∵y′=1-2ex,令y′=1-2ex=-1,
解得x=0,∴切點為(0,-2),
該切點到直線y=2-x的距離d=
|0-2-2|
1+1
=2
2
就是所要求的兩曲線間的最小距離,
故(a-c)2+(b-d)2的最小值為d2=8.
故選:B.
點評:本題考查代數式的最小值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意兩點間距離公式的合理運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知{an}為等差數列,且a3+a8=8,則S10的值為(  )
A、40B、45C、50D、55

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直三棱柱ABC-A1B1C1,其底面是邊長為6的正三角形,高為2
3
,若它的六個頂點都在球O的球面上,則球O的體積為(  )
A、4
3
π
B、32
3
π
C、
20
5
3
π
D、20
15
π

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科目:高中數學 來源: 題型:

設等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=(  )
A、31B、32C、63D、64

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1⊥l2,則a=(  )
A、2或
1
2
B、
1
3
或-1
C、
1
3
D、-1

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科目:高中數學 來源: 題型:

使得點A(cos2α,sin2α)到點B(cosα,sinα)的距離等于1的α的一個值是(  )
A、
π
12
B、
π
6
C、-
π
3
D、-
π
4

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知△ABC中,三個頂點的坐標分別為A(5,-1),B(1,1),C(2,3),則△ABC的形狀為(  )
A、等邊三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、鈍角三角形

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科目:高中數學 來源: 題型:

圓C:x2+y2=4上的點到點(3,4)的最小距離為(  )
A、9B、7C、5D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

u
=(2,2,-1)是平面α的法向量,
a
=(-3,4,2)是直線l的方向向量,則直線l與α的位置關系是(  )
A、l∥αB、l⊥α
C、l?αD、l?α或l∥α

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