Question

設常數a≥0，函數f（x）=x-ln²x+2alnx-1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比較g（x）的最小值與0的大小；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）求證：當x＞1時，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

Answer 1

分析：（1）依題意求出g（x）的表示式，用導數研究其單調性求出其最小值再與0比較；
（2）利用（1）的結論進行證明，判斷時要求注意研究的區間是（0，+∞）這一特征；
（3）由（2）的結論知只須證明f（1）非負即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x-（lnx）（lnx）+2alnx-1，x∈（0，+∞）
∴f′(x)=1-[

1

x

×lnx+(lnx)×

1

x

]+

2a

x

，=1-

2lnx

x

+

2a

x

，（2分）
∴g（x）=xf'（x）=x-2lnx+2a，x∈（0，+∞）
∴g′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

，令g'（x）=0，得x=2，（4分）
列表如下：

∴g（x）在x=2處取得極小值g（2）=2-2ln2+2a，
即g（x）的最小值為g（2）=2-2ln2+2a．（6分）g（2）=2（1-ln2）+2a，
∵ln2＜1，∴1-ln2＞0，又a≥0，
∴g（2）＞0
證明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正數，
∴對一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0
從而當x＞0時，恒有f'（x）＞0
故f（x）在（0，+∞）上是增函數
證明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴當x＞1時，f（x）＞f（1）
又f（1）=1-ln²1+2aln1-1=0
∴f（x）＞0，即x-1-ln²x+2alnx＞0
∴x＞ln²x-2alnx+1
故當x＞1時，恒有x＞ln²x-2alnx+1

點評：考查用導數法求最值，本題三個小題后一個以前一個的結論為基礎做題，在遇到這一類題時，即使前一問的結論沒有證出來，也可以依據前一問的結論為論據求解后一問的問題，請讀者注意這個經驗．