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設(shè)常數(shù)a≥0,函數(shù)f(x)=x-(lnx)2+2alnx-1.
(1)若f(x)在x=1處的切線為3ax-y+b=0,求a、b的值;
(2)證明:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可求得f′(1)=1+2a=3a,從而可求得a的值,繼而可求得b的值;
(2)依題意,可求得f′(x)=1-2lnx•
1
x
+
2
x
(x>0),通過導(dǎo)數(shù)法對f′(x)=1-2lnx•
1
x
+
2
x
(x>0)的探究,可求得f′(x)min=1-
2
e2
>0,從而可證結(jié)論.
解答:解:(1)∵f(x)=x-(lnx)2+2alnx-1,
∴f′(x)=1-2lnx•
1
x
+
2a
x

∵f(x)在x=1處的切線為3ax-y+b=0,
∴f′(1)=1+2a=3a,
∴a=1;
又a=1時,f(1)=0,即(1,0)在切線3x-y+b=0上,
∴b=-3,
∴f(x)=f(x)=x-(lnx)2+2lnx-1.
(2)∵f′(x)=1-2lnx•
1
x
+
2
x
(x>0),
∴f″(x)=-2(
1-lnx
x2
)-
2
x2
=
4
x2
+
2lnx
x2
,
令f″(x)=0得:x=e2,
當(dāng)0<x<e2時,f″(x)<0,f′(x)=1-2lnx•
1
x
+
2
x
在(0,e2)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x>e2時,f″(x)>0,f′(x)=1-2lnx•
1
x
+
2
x
在(e2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴x=e2時,f′(x)取得最小值,即f′(x)min=1-
4
e2
+
2
e2
=1-
2
e2
>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,突出對二階導(dǎo)數(shù)的研究,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)常數(shù)a≥0,函數(shù)f(x)=x-ln2x+2alnx-1
(1)令g(x)=xf'(x)(x>0),求g(x)的最小值,并比較g(x)的最小值與0的大小;
(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)求證:當(dāng)x>1時,恒有x>ln2x-2alnx+1.

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