Question

已知a，b，c∈（0，1），求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一個不大于

1

4

．

Answer 1

分析：首先根據題意，通過反證法假設假設（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于

1

4

，得出：

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

＞

3

2

；然后根據基本不等式，得出

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

≤

3

2

．相互矛盾，即可證明．

解答：證明：反證法假設（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于

1

4

（1-a）b＞

1

4

（1-b）c＞

1

4

（1-c）a＞

1

4

即

(1-a)b

＞

1

2

①

(1-b)c

＞

1

2

②

(1-c)a

＞

1

2

③
①②③相加：

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

＞

3

2

由基本不等式a+b≥2

ab

(1-a)b

≤ 

1-a+b

2

④

(1-b)c

≤

1-b+c

2

⑤

(1-c)a

≤

1-c+a

2

⑥
④⑤⑥三式相加

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

≤

3

2

與

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

＞

3

2

矛盾所以假設不成立∴命題得證∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一個不大于

1

4

．

點評：本題考查反證法的應用，涉及不等式的證明與基本不等式的應用，屬于中檔題．