Question

如圖．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點O為B₁D₁的中點．求證：
（Ⅰ）AO∥面BC₁D；
（Ⅱ）AO⊥BD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC與BD交于G點，連接OC₁，GC₁，由OC₁∥AG，OC₁=AG，可得OA∥GC₁，從而可證OA∥平面C₁BD．
（Ⅱ）連接OO₁，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點O為B₁D₁的中點，得到OO₁⊥平面ABCD，由線面垂直的性質得到OO₁⊥BD，結合AC⊥BD，可得BD⊥平面AOO₁，再由線面垂直的性質可證．

解答： 證明：（Ⅰ）連接AC，BD交于G點，連接OC₁，GC₁，

∴在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，OC₁∥AG，OC₁=AG，
∴四邊形OC₁AG為平行四邊形，
∴OA∥GC₁，
又GC₁?平面C₁BD，OA?平面C₁BD，
∴OA∥平面C₁BD．
（Ⅱ）連接OO₁，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點O為B₁D₁的中點，
∴OO₁⊥平面ABCD，
∴OO₁⊥BD，
又∵AC⊥BD，
∴BD⊥平面AOO₁
∴AO⊥BD．

點評：本題考查了正方體性質的運用以及線面平行、線面垂直的判定定理和性質定理的運用，考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題．