Question

已知二次函數f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），求

1

c+1

+

9

a+9

的最大值．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：首先根據函數的值域求出a和c的關系，進一步對關系式進行變換，再利用均值不等式求出結果．

解答： 解：∵二次函數f(x)=ax2-4x+

c

(x∈R)的值域為[0，+∞）
∴a＞0，且（-4）²-4ac=0，即c=

4

a

∴

1

c+1

+

9

a+9

=

1

4 a +1

+

9

a+9

=

a

a+4

+

9

a+9

=1-

4

a+4

+

9

a+9

=1+

5a

a2+13a+36

=1+

5

a+ 36 a +13

≤1+

5

2 a• 36 a +13

=

6

5

當且僅當a=6時等號成立，故

1

c+1

+

9

a+9

的最大值為

6

5

點評：本題考查的知識要點：二次函數的應用，函數關系式的恒等變換，均值不等式的應用，屬于基礎題型．