Question

已知P是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的點，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，若

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

，則△F₁PF₂的面積為（　�。�

• A、3

  3

• B、2

  3

• C、

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：先根據橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設F₁P=m，F₂P=n，再根據條件求出∠F₁PF₂=60°，然后利用余弦定理可求得mn的值，je 利用三角形面積公式求解．

解答：解：由題意可得：a=5，b=3，
所以c=4，即F₁F₂=2c=8．
設F₁P=m，F₂P=n，所以由橢圓的定義可得：m+n=10…①．
因為

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

，所以由數量積的公式可得：cos＜

PF1

，

PF2

＞=

1

2

，
所以＜

PF1

，

PF2

＞=

π

3

．
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
所以由余弦定理可得：64=m²+n²-2mncos60°…②，
由①②可得：mn=12，所以S△F1PF2=

1

2

mnsin60°=3

3

．
故選A．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的標準方程、橢圓的定義，熟練利用數量積求向量的夾角以及利用解三角形的知識求解面積問題．