Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n且滿足3S_n-4a_n=2n-4，n∈N^*．
（1）證明：當(dāng)n≥2時，a_n=4a_n-1-2；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)c_n=T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，證明：T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用3S_n-4a_n=2n-4，可得3S_n-1-4a_n-1=2（n-1）-4，兩式作差即可．
（2）由（1）的結(jié)論，把a_n=4a_n-1-2轉(zhuǎn)化為a_n-=4（a_n-1-）；即{a_n-}為等比數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）由（2）的結(jié)論求出數(shù)列{c_n}的通項公式，再對數(shù)列{c_n}的通項公式放縮后分離常數(shù)，分組求和即可．
解答：解：（1）3S_n-4a_n=2n-4，①
得當(dāng)n≥2時，3S_n-1-4a_n-1=2（n-1）-4   ②
①-②得，3（S_n-S_n-1）-4a_n+4a_n-1=2⇒-a_n+4a_n-1=2⇒a_n=4a_n-1-2；

（2）∵當(dāng)n≥2時，a_n=4a_n-1-2；⇒a_n-=4（a_n-1-）；⇒{a_n-}是以a₁-為首項4為公比的等比數(shù)列．
又3S₁-4a₁=2-4⇒a₁=2⇒a₁-=
∴a_n-=•4^n-1⇒a_n=+•4^n-1=．

（3）∵c_n==＜=+
當(dāng)n=1時，T₁==＜
n≥2時，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n＜++2（+…+）
=++2×=-＜
綜上，對所有的正整數(shù)n，都有   T_n＜．
點評：本題考查了數(shù)列求和的分組求和法．?dāng)?shù)列求和的常用方法有：裂項求和，錯位相減法求和，分組求和，倒序相加求和，公式法等．