Question

四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD的長分別為8厘米與12厘米，它們的夾角為arccos

2 2

3

，則S_{四邊形ABCD}=

16

平方厘米．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，如圖所示，過D和B分別作AC邊上的垂線，垂足分別為E和F，設兩對角線的夾角為α，根據它們的夾角為arccos

2 2

3

，得到cosα的值，由α的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα的值，在直角三角形DOE中，由正弦定理得出|DE|=

1

3

|OD|，同理可得|BF|=

1

3

|OB|，把四邊形ABCD的面積分為三角形ADC與三角形ABC兩部分來求，都以AC為底邊，高分別為DE及BF，利用三角形的面積公式表示出兩三角形面積，相加后，把得出的等式代入即可得到四邊形的面積等于對角線乘積的

1

6

，把兩對角線的值代入即可求出四邊形ABCD的面積．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：
過D作DE⊥AC，過B作BF⊥AC，設∠DOE=∠BOC=α，
∴cosα=

2 2

3

，又α∈（0，180°），
∴sinα=

1-cos2α

=

1

3

，
在△DOE中，根據正弦定理得：

|DO|

sin90°

=

|DE|

sinα

，
可得：|DE|=

1

3

|DO|，
同理可得：|FB|=

1

3

|OB|，又|AC|=8cm，|BD|=12cm，
則S_{四邊形ABCD}=S_△ACD=+S_△ABC
=

1

2

|AC|•|DE|+

1

2

|AC|•|BF|
=

1

2

|AC|•（|DE|+|BF|）
=

1

2

|AC|•（

1

3

|DO|+

1

3

|OB|）
=

1

6

|AC|•|BD|
=16（平方厘米）．
故答案為16

點評：此題考查了正弦定理，同角三角函數間的基本關系以及反三角形函數的定義，利用了數形結合的思想．其中根據題意畫出圖形，過D及B分別作出高DE和BF是本題的突破點．