【題目】在數列
中，
，
，
（1）設
，證明：數列
是等差數列；
（2）求數列的前
項和.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
試題分析：（1）由
，可得
，化簡得
，即可證明；（2）由（1）可得：
，
，再利用“錯位相減法”、等比數列的前
項和公式即可得出.
試題解析：(1)證明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得
.
，又
.
∴{bn}是首項為1，公差為1的等差數列．
(2)解 由(1)知，bn＝n，
.∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1
兩邊乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
兩式相減得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
高中必刷題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在四棱錐
中，底面
是正方形，
．
（1）如圖2，設點
為
的中點，點
為
的中點，求證:
平面
；
（2）已知網格紙上小正方形的邊長為
，請你在網格紙上用粗線畫圖1中四棱錐的府視圖（不需要標字母），并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市要建成宜商、宜居的國際化新城，該城市的東城區、西城區分別引進8個廠家，現對兩個區域的16個廠家進行評估，綜合得分情況如莖葉圖所示.
（1）根據莖葉圖判斷哪個區域廠家的平均分較高；
（2）規定85分以上（含85分）為優秀廠家，若從該兩個區域各選一個優秀廠家，求得分差距不超過5分的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點以及三角形頂點）處都種了一株相同品種的作物．根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收獲
（單位：
）與它的“相近”作物株數
之間的關系如下表所示：
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 51 | 48 | 45 | 42 |
這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．
（1）從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；
（2）在所種作物中堆積選取一株，求它的年收獲量的分布列與數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知：以點
(
)為圓心的圓與
軸交
于點O, A，與y軸交于點O, B，其中O為原點．
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設直線
與圓C交于點M, N，若OM = ON，求圓C的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓：
，點
.
（1）設
是橢圓
上任意的一點，
是點
關于坐標原點的對稱點，記
，求
的取值范圍；
（2）已知點
，
，
是橢圓
上在第一象限內的點，記
為經過原點與點
的直線，
為
截直線
所得的線段長，試將
表示成直線
的斜率
的函數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記
表示
，
中的最大值，如
．已知函數
，
．
（1）設
，求函數
在
上零點的個數；
（2）試探討是否存在實數
，使得
對
恒成立？若存在，求
的取值范圍；若不存在，說明理由．
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