Question

（2013•寶山區一模）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面直角坐標系上的兩點，定義點A到點B的曼哈頓距離L（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若點A（-1，1），B在y²=x上，則L（A，B）的最小值為

7

4

．

Answer 1

分析：分析可知，使L（A，B）取最小值的點應在原點或第一象限，設出拋物線上點的坐標，然后寫出L（A，B）=|y02+1|+|y₀-1|．分類討論點B的縱坐標后可求得L（A，B）的最小值．

解答：解：如圖，

因為A在第二象限，根據拋物線的對稱性，要使拋物線上的點B與A點的曼哈頓距離最小，則B在第一象限（或原點）．
設B（y02，y0），
則L（A，B）=|y02+1|+|y₀-1|
當0≤y₀≤1時，
L（A，B）=y02+1+1-y0
=y02-y0+2
=(y0-

1

2

)2+

7

4

，
所以，當y0=

1

2

時，L（A，B）有最小值

7

4

．
當y₀＞1時，
L（A，B）=y02+1+y0-1
=y02+y0
=(y0+

1

2

)2-

1

4

＞(1+

1

2

)2-

1

4

=2．
綜上，L（A，B）的最小值為

7

4

．
故答案為

7

4

．

點評：本題考查了新定義下的兩點間的距離公式，考查了數形結合的解題思想和分類討論思想，解答的關鍵是設出B點的坐標，此題是中檔題．