Question

（2013•寶山區一模）函數f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函數的充要條件是 （　�。�

A．a²+b²=0

B．a+b=0

C．a=b

D．ab=0

Answer 1

分析：由給出的函數f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函數，且0在其定義域中，由f（0）=0求出b的值，再取特殊值f（-1）=-f（1）求出a的值，然后證明當a=b=0時函數f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函數，從而可得結論．

解答：解：因為函數f（x）的定義域為[-1，1]，且函數f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函數，
則，f（0）=0，即barccos0=0，
所以，b=0．
再由f（-1）=-f（1），得：
-|arcsin（-1）+a|+barccos（-1）=-|arcsin1+a|+barccos1，
即-|-

π

2

+a|+πb=-|

π

2

+a|，
|-

π

2

+a|=|

π

2

+a|，
所以，a=0
所以，函數f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函數的必要條件是a=0，b=0．
下面證明充分性
若a=0，b=0．
則f（x）=x|arcsinx|，
f（-x）=-x|srxsin（-x）|=-x|-arcsinx|=-x|arcsinx|=-f（x）．
所以f（x）是奇函數．
綜上，f（x）是奇函數的充要條件是 a=0且b=0，即a²+b²=0．
故選A．

點評：本題考查了充分條件、必要條件及充要條件的判斷．
判斷充要條件的方法是：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．
此題是中檔題．