Question

（2013•寶山區一模）已知函數f(x)=log2(4x+b•2x+4)，g（x）=x．
（1）當b=-5時，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=log2(4x+b•2x+4)，b=-5，知4^x-5•2^x+4＞0，由此能求出f（x）的定義域．
（2）f(x)=log2(4x+b•2x+4)，g（x）=x，由f（x）＞g（x），得4^x+b•2^x+4＞2^x，由此能求出結果．

解答：解：（1）∵函數f(x)=log2(4x+b•2x+4)，b=-5，
∴4^x-5•2^x+4＞0，…3分
解得x＜0，或x＞2．
∴f（x）的定義域為（-∞，0）∪（2，+∞）．…6分
（2）∵f(x)=log2(4x+b•2x+4)，g（x）=x，
∴由f（x）＞g（x），得4^x+b•2^x+4＞2^x，
即b＞1-(2x+

4

2x

)…9分
令h(x)=1-(2x+

4

2x

)，
則h（x）≤-3，…12分
∴當b＞-3時，f（x）＞g（x）恒成立．
故b的取值范圍是（-3，+∞）．…14分．

點評：本題考查函數的定義域的求法，解題時要認真審題，注意對數函數的性質和等價轉化思想的合理運用．