Question

已知函數。
（I）當a=1時，求函數f（x）的圖象在點A（0，f（0））處的切線方程；
（II）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）是否存在實數a∈（1，2），使當x∈（0，1）時恒成立？若存在，求出實數a；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解（I）a=1時，
，
于是，
所以函數f（x）的圖象在點A（0，f（0））處的切線方程為，
即；
（II）
，
∵，
∴只需討論的符號，
ⅰ）當a＞2時，＞0，這時＞0，所以函數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數；
ⅱ）當a=2時，≥0，函數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數；
ⅲ）當0＜a＜2時，令=0，解得，
當x變化時，f′（x）和f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在，為增函數，f（x）在為減函數；
（Ⅲ）當a∈（1，2）時，∈（0，1），
由（2）知f（x）在上是減函數，在上是增函數，
故當x∈（0，1）時，，
所以當x∈（0，1）時恒成立，等價于恒成立，
當a∈（1，2）時，，設，則，
表明g（t） 在（0，1）上單調遞減，
于是可得，即a∈（1，2）時恒成立，
因此，符合條件的實數a不存在。