Question

已知函數．
（I）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處切線的斜率；
（II）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數，根據m=1，我們易求出f（1）及f′（1）的值，代入點斜式方程即可得到答案．
（2）由已知我們易求出函數的導函數，令導函數值為0，我們則求出導函數的零點，根據m＞0，我們可將函數的定義域分成若干個區間，分別在每個區間上討論導函數的符號，即可得到函數的單調區間．
解答：解：（1）當a=2時，，
f′（x）=2x²-3+，故f′（2）=．
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率為．
（2）f′（x）=ax²-（a+1）+．
令f′（x）=0，解得x=1，或x=．
因為a＞0，x＞0．
①當0＜a＜1時，
若x∈（0，1）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
若x∈（1，）時，f′（x）0，＜函數f（x）單調遞減；
若x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
②當a=1時，
若x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
③當a＞1時，
若x∈（0，）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
若x∈（，1）時，f′（x）0，＜函數f（x）單調遞減；
若x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用導數研究曲線上某點切線方程，其中根據已知函數的解析式求出導函數的解析式是解答本題的關鍵．