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在△ABC中,角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且1+
tanA
tanB
=
2c
b

(1)求角A;
(2)若a=
7
,且△ABC的面積為
3
3
2
,求b+c的值.
分析:(1)利用同角三角函數間的基本關系化簡已知等式的左邊,通分后再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡,右邊利用正弦定理化簡,變形后求出cosA的值,由A為三角形的內角,利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數;
(2)由sinA的值及已知三角形的面積,利用面積公式求出bc的值,再由a與cosA的值,利用余弦定理及完全平方公式列出關系式,變形后將bc的值代人,開方即可求出b+c的值.
解答:解:(1)∵1+
tanA
tanB
=1+
sinAcosB
sinBcosA
=
sinAcosB+cosAsinB
sinBcosA
=
2c
b
=
2sinC
sinB

sin(A+B)
sinBcosA
=
sinC
sinBcosA
=
2sinC
sinB

∴cosA=
1
2
,又A為三角形的內角,
∴A=60°;
(2)∵a=
7
,A=60°,S△ABC=
3
3
2

1
2
bcsinA=
3
4
bc=
3
3
2
,即bc=6,
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得:7=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-18,
∴(b+c)2=25,
則b+c=5.
點評:此題考查了同角三角函數間的基本關系,三角形的面積公式,正弦、余弦定理,以及兩角和與差的正弦函數公式,熟練掌握定理、公式及基本關系是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關系一定不成立的是(  )
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=60°,cos(B+C)=-
1114

(1)求cosC的值;
(2)若bcosC+acosB=5,求△ABC的面積.

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在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且bsinA=
3
acosB

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(2)若a=4,c=3,D為BC的中點,求△ABC的面積及AD的長度.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA

(1)求∠A的值;
(2)求用角B表示
2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,且a=
5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

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