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已知空間向量
a
，
b
滿足條件：（
a
+3
b
）⊥（7
a
-5
b
），且（
a
-4
b
）⊥（7
a
-2
b
），則空間向量
a
，
b
的夾角＜
a
，
b
＞（　　）
A、等于30°B、等于45°
C、等于60°D、不確定
分析：根據所給的兩個垂直關系，寫出兩組向量的數量積為0，整理式子，把兩個向量的數量積和一個向量的模長用另一個向量的模長來表示，寫出求夾角的式子，約分得到余弦值，進一步得到夾角．
解答：解：由題意知：7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0   ①
7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0     ②
∴15
b
2-16
a
•
b
=30
a
•
b
-8
b
2，
∴
b
2=2
a
•
b
   ③
把③代入①得
a
2=
b
2，
∴cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
2
，
∵兩個向量的夾角屬于[0°，180°]
∴兩個向量的夾角等于60°
故選C．
點評：本題考查用兩個向量的數量積求兩個向量的夾角，是一個比較典型的題目，這里把向量之間的運算展示的非常清楚，注意由值求角時，要寫出角的范圍，不然不能確定角的大小．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•寧波二模）已知空間向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=1，且
a
， 
b
的夾角為
π
3
，O為空間直角坐標系的原點，點A、B滿足
OA
=2
a
+
b
，
OB
=3
a
-
b
，則△OAB的面積為（　　）

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科目：高中數學 來源：設計選修數學2-1蘇教版 蘇教版 題型：044

已知空間向量a、b、c、p，滿足p＝a＋b－2c，p＝3a－2b＋c，試問向量a、b、c是否共面？

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知空間向量
a
，
b
滿足條件：（
a
+3
b
）⊥（7
a
-5
b
），且（
a
-4
b
）⊥（7
a
-2
b
），則空間向量
a
，
b
的夾角＜
a
，
b
＞（　　）
A．等于30°B．等于45°C．等于60°D．不確定

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科目：高中數學 來源：寧波二模 題型：單選題

已知空間向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=1，且
a
， 
b
的夾角為
π
3
，O為空間直角坐標系的原點，點A、B滿足
OA
=2
a
+
b
，
OB
=3
a
-
b
，則△OAB的面積為（　　）
A．
5
2
3
B．
5
4
3
C．
7
4
3
D．
11
4

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