Question

【題目】已知橢圓的離心率，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為3．

（1）求橢圓的方程；

（2）動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率均存在時(shí)，斜率之和是與無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由離心率寫(xiě)出a，c的關(guān)系，結(jié)合條件求得a與b的關(guān)系，再由則橢圓方程可求；

（2）設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，將斜率之和用坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)，并利用多項(xiàng)式的恒等條件（相同次項(xiàng)的系數(shù)相等）建立方程，解得P的坐標(biāo)．

(1) 設(shè)橢圓的半焦距為c，則，且．由解得．

依題意，，于是橢圓的方程為．

(2)設(shè)，P(m,n),將，與橢圓方程聯(lián)立得

則有

如果存在P（m，n）使得kPA+kPB為定值，那么kPA+kPB的取值將與t無(wú)關(guān)，

又直線(xiàn)PA,PB的斜率之和為：

當(dāng)時(shí)斜率的和恒為0，解得

綜上所述，所有滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．