Question

7．母線長為1的圓錐的側面展開圖的圓心角為$\frac{4}{3}$π，則該圓錐的體積是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{81}$π
• B． $\frac{4\sqrt{5}}{27}$π
• C． $\frac{4\sqrt{5}}{81}$π
• D． $\frac{\sqrt{10}}{81}$π

Answer 1

分析 求出圓錐的側面展開圖扇形的弧長，再求底面半徑，求出圓錐的高，即可求它的體積．

解答 解：圓錐的側面展開圖扇形的弧長，即底面圓的周長為$\frac{4}{3}$π•1=$\frac{4}{3}$π，于是設底面圓的半徑為r，
則有2πr=$\frac{4}{3}$π，所以r=$\frac{2}{3}$，
于是圓錐的高為h=$\sqrt{1-{r}^{2}}$=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
該圓錐的體積為：$\frac{1}{3}$×（$\frac{2}{3}$）²π×$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{81}$π．
故選：C．

點評 本題考查圓錐的體積，考查計算能力，是基礎題．