Question

（2012•安徽模擬）設f（x），g（x）是定義在R上的恒不為零的函數，對任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若a1=

1

2

，an=f(n)(n∈N*)，且b1=1，bn=g(n)(n∈N*)，則數列{a_nb_n}的前n項和為S_n為（　　）

• A．

  n(n+1)

  2

• B．n+1-

  1

  2n

• C．

  3n

  2

• D．2-

  n+2

  2n

Answer 1

分析：根據f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），令x=1，y=n，分別求得數列的通項an=

1

2n

，b_n=n，再利用錯位相減法求數列的和即可．

解答：解：∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴令x=1，y=n可得

f(n+1)

f(n)

=f(1)=a1=

1

2

∴

an+1

an

=

1

2

∴{a_n}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列
∴an=

1

2n

∵g（x）+g（y）=g（x+y），
∴∴令x=1，y=n可得g（1）+g（n）=g（n+1）
∴b_n+1-b_n=g（1）=b₁=1
∴數列{b_n}是以1為首項，1為公差的等差數列
∴b_n=n
∴數列{a_nb_n}的前n項和為S_n=1×

1

2

+2×

1

22

+…+n×

1

2n

∴

1

2

S_n=1×

1

22

+2×

1

23

+…+（n-1）×

1

2n

+n×

1

2n+1

兩式相減可得

1

2

S_n=1×

1

2

+1×

1

22

+1×

1

23

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

故選D．

點評：本題考查數列的通項與求和，解題的關鍵是賦值，確定數列的通項，屬于中檔題．