Question

定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=-f(x+2),且當x∈(-1，1］時，f(x)=x²+2x.

(1)求當x∈(3，5］時，f(x)的解析式;

(2)判斷f(x)在（3，5］上的增減性并證明.

Answer 1

(1)解析：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),

∴f(x)是以4為周期的周期函數.

設x∈（3，5］，則-1＜x-4≤1,

∴f(x)=f(x-4)=(x-4)²+2(x-4)=x²-6x+8(3＜x≤5).

(2)證明：∵f(x)=(x-3)²-1(3＜x≤5)，

∴函數f(x)在（3，5）上是增函數.

用定義：設3＜x₁＜x₂≤5,則f(x₂)-f(x₁)=x₂²-6x₂+8-x₁²+6x₁-8=(x₂-x₁)(x₂+x₁)-6(x₂-x₁)=(x₂-x₁)

(x₁+x₂-6),

∵x₁＜x₂,

∴x₂-x₁＞0,x₁+x₂-6＞3+3-6=0.

∴f(x₂)＞f(x₁),∴f(x)為增函數.