Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ，
（Ⅰ）若f₂₀₁₁（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，求a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶項的系數；
（Ⅲ）證明：

C

m m

+2

C

m m+1

+3

C

m m+2

+…+n

C

m m+n-1

=[

(m+1)n+1

m+2

]

C

m+1 m+n

．

Answer 1

分析：（I）給f₂₀₁₁（x）的展開式中的x分別賦值1，-1；兩式相減求出待求的系數和．
（II）由于g（x）是由三個二項式的和組成；利用二項展開式的通項公式求出三個二項式中x⁶的系數，求它們的和．
（III）構造函數h（x）；待證等式的左邊即為h（x）展開式含x^m的系數和；通過數列的求和方法：錯位相減法求出h（x）；求出h（x）的展開式含x^m項的系數；利用組合數公式化簡，恒等式得證．

解答：解：（Ⅰ）因為f_n（x）=（1+x）ⁿ，
所以f₂₀₁₁（x）=（1+x）²⁰¹¹，
又f₂₀₁₁（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，
所以f₂₀₁₁（1）=a₀+a₁+…+a₂₀₁₁=2²⁰¹¹（1）
f₂₀₁₁（-1）=a₀-a₁+…+a₂₀₁₀-a₂₀₁₁=0（2）
（1）-（2）得：2（a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁）=2²⁰¹¹
所以：a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁=f₂₀₁₁（1）=2²⁰¹⁰（2分）
（Ⅱ）因為g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），
所以g（x）=（1+x）⁶+2（1+x）⁷+3（1+x）⁸
g（x）中含x⁶項的系數為1+2×C₇⁶+3C₈⁶=99（4分）
（Ⅲ）設h（x）=（1+x）^m+2（1+x）^m+1+…+n（1+x）^m+n-1（1）
則函數h（x）中含x^m項的系數為C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m（7分）
（1+x）h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2++n（1+x）^m+n（2）
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2++（1+x）^m+n-1-n（1+x）^m+n-xh(x)=

(1+x)m[1-(1+x)n]

1-(1+x)

-n(1+x)m+n
x²h（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx（1+x）^m+n
h（x）中含x^m項的系數，即是等式左邊含x^m+2項的系數，
等式右邊含x^m+2項的系數為-C_m+n^m+2+nC_m+n^m+1

=- (m+n)! (m+2)!(n-2)! + n(m+n)! (m+1)!(n-1)! = -(n-1)+n(m+2) m+2 × (m+n)! (m+1)!(n-1)!

=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1 m+n

所以C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1 m+n

（13分）

點評：本題考查解決二項展開式的系數和問題常采用賦值法、考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題、考查構造函數法、考查數列的求和方法：錯位相減法、考查組合數公式．