Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₁₁（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，求a₁+a₃+…+a₁₁的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶項的系數；
（3）證明：

C

m m

+2

C

m m+1

+3

C

m m+2

+…+n

C

m m+n-1

=[

(m+1)n+1

m+2

]

C

m+1 m+n

．

Answer 1

分析：（1）考察（1+x）¹¹（1-x）¹¹展開式的項的項的關系，兩式相減后再令x=1，可求．
（2）由于g（x）是由三個二項式的和組成；利用二項展開式的通項公式求出三個二項式中x⁶的系數，求它們的和．
（3）構造函數h（x）；待證等式的左邊即為h（x）展開式含x^m的系數和；通過數列的求和方法：錯位相減法求出h（x）；求出h（x）的展開式含x^m項的系數；利用組合數公式化簡，恒等式得證．

解答：解：（1）f₁₁（x）=（1+x）¹¹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，①
考察（1-x）¹¹展開式的項，與①式奇數項相同，偶數項互為相反數．
∴（1+x）¹¹-（1-x）¹¹=2（a₁x+a₃x³+…+2a₁₁x¹¹），
令x=1得 a₁+a₃+…+a₁₁=

(1+1)11-011

2

=1024．
 （2）f_n（x）=（1+x）ⁿ．展開式中含x⁶項為T₇=C_n⁶x⁶，系數為C_n⁶．
g（x）中含x⁶項的系數等于C₆⁶+2C₇⁶+3C₈⁶=99．
證明：（3）設h（x）=（1+x）^m+2（1+x）^m+1+…+n（1+x）^m+n-1（1）
則函數h（x）中含x^m項的系數為C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m
（1+x）h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2+…+n（1+x）^{m+n （2）}
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2+…+（1+x）^m+n-1-n（1+x）^m+n -xh(x)=

(1+x)m[1-(1+x)n]

1-(1+x)

-n(1+x)m+n
x²h（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx（1+x）^m+n
h（x）中含x^m項的系數，即是等式左邊含x^m+2項的系數，
等式右邊含x^m+2項的系數為-C_m+n^m+2+nC_m+n^m+1

=- (m+n)! (m+2)!(n-2)! + n(m+n)! (m+1)!(n-1)! = -(n-1)+n(m+2) m+2 × (m+n)! (m+1)!(n-1)1

=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1 m+n

所以C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1 m+n

點評：本題考查二項展開式的系數和問題，求二項展開式的特定項問題、考查賦值法、構造函數法、數列的求和方法、錯位相減法．