Question

已知f_n（x）=（1+x）+2（1+x）²+…+n（1+x）ⁿ=a_n0+a_n1x+…+a_nnxⁿ，n∈N^*，這些系數可形成如下數陣：
（1）求出a₃₁，a₃₂的值；
（2）若n=9，求a₉₁+a₉₅+a₉₇+a₉₉的值；
（3）求數列{a_ij}（其中i，j∈N^*，且1≤j≤i≤n）的和S．

Answer 1

分析：本題考查排列與組合與二項式的綜合題，由題設條件先將二項式的系數與數陣中的符號對應，
（1）由矩陣中的數與二項式系數的對應求出兩數的值；
（2）根據二項式的性質，求出所有偶數項的系數的和，再從中排除a₉₃既得；
（3）要求數列{a_ij}（其中i，j∈N^*，且1≤j≤i≤n）的和S，可先求出每一行的和，再求出S．

解答：解：（1）由題意得a₃₁=1+2C₂¹+3C₃¹=14，a₃₂=2C₂²+3C₃²=11…..（2分）
 （2）∵a₉₁+a₉₃+a₉₅+a₉₇+a₉₉=

f 9(1)-f 9(-1)

2

=1+2×2+3×2²+…+9×2⁸=4097…..（4分）
而a₉₃=3C₃³+4C₄³+…+9C₉³1638
∴a₉₁+a₉₅+a₉₇+a₉₉=4097-1638=2459…（6分）
（3）S_i=

i

j=0

aij=2+2×2²+3×2³+…+i×2ⁱ…..①
2S_i=2

i

j=0

aij=2²+2×2³+3×2⁴+…+i×2ⁱ⁺¹…②
由①-②，得
-S_i=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁱ-i×2ⁱ⁺¹=

2(1-2i)

1-2

-i×2ⁱ⁺¹=（1-i）×2ⁱ⁺¹-2
∴S_i=2+（i-1）×2ⁱ⁺¹  …（9分）
而

n

i=1

ai0=

n

i=1

i(1+i)

2

∴s=

n

i=1

Si-

n

i=1

ai0=2n+2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹-

n

i=1

i(1+i)

2

 
s′=2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹③
2s′=2⁴+2×2⁵+3×2⁶+…+（n-1）×2ⁿ⁺²④
由③-④，得-s′=2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n-1）×2ⁿ⁺²=

8(1-2n-1)

1-2

-（n-1）×2ⁿ⁺²=（2-n）×2ⁿ⁺²-8s′=8+（n-2）×2ⁿ⁺² 
∴s=2n+8+（n-2）×2ⁿ⁺²-

n

i=1

i(1+i)

2

=2n+8+（n-2）×2ⁿ⁺²-

1

12

n(n+1)(2n+1)-

1

4

n(n+1) 
s=2n+8+（n-2）×2ⁿ⁺²-

1

6

n(n+1)(n+2)…..（12分）

點評：本題考查排列與組合的綜合題，以及數列求和的技巧，解題的關鍵是理解題意，明確矩陣中的數與二項式系數的對應關系，熟練掌握二項式定理數列的求和技巧錯位相減法等，本題涉及到的知識點多，技巧多，綜合性很強，且運算量很大，解題是要運算嚴謹，轉化嚴密，本題考查了推理判斷的能力及轉化的思想，是數列與二項式結好的難度很高的題