Question

指出下列命題中，p是q的什么條件（在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種作答）.

（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；

（2）對于實數x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;

（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；

（4）已知x、y∈R，p：（x-1）²+（y-2）²=0，q：（x-1）（y-2）=0.

Answer 1

1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因為A與B不可能互補（因為三角形三個內角和為180°),所以只有A=B.故p是q的充要條件.

(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,顯然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要條件,根據原命題和逆否命題的等價性知,p是q的充分不必要條件.

(3)顯然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分條件.

(4)條件p:x=1且y=2,條件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要條件.

解析:

（1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因為A與B不可能互補（因為三角形三個內角和為180°),所以只有A=B.故p是q的充要條件.

(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,顯然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要條件,根據原命題和逆否命題的等價性知,p是q的充分不必要條件.

(3)顯然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分條件.

(4)條件p:x=1且y=2,條件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要條件.