Question

問題1：求三維空間至多被n個平面分割的區(qū)域數(shù)F（n）．
問題2：求一個平面至多被n條直線分割的區(qū)域數(shù)G（n）．
問題3：求一直線至多被n個點分成的段數(shù)S（n）．

Answer 1

分析：把n=1，2 3，4的情況整理成表，于是歸納出一般的結論：G（n）=G（n-1）+S（n-1），F(xiàn)（n）=F（n-1）+
G（n-1），再由 G(n)=

n2+n+2

2

=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

，可得F(n)=F(1)+

n-1

i=1

C

i 0

+

n-1

i=1

C

i 1

+

n-1

i-2

C

i 2

=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

（n≥），還可進一步歸納出更一般的結論：m維空間最多能被n個m-1維平面分割的區(qū)域數(shù)為

E

(n) m

=

C

0 n

+

C

1 n

+…

C

m n

．

解答：解：先考慮特殊情況：F（1）=2，F(xiàn)（2）=4，F(xiàn)（3）=8，但憑借幾何直觀難以想象n=4的情況，
于是轉向考慮平面上類似問題．
先考慮特殊情況：G（1）=2，G（2）=4，G（3）=7，G（4）=11，但是隨著直線數(shù)目的增多，情況越來越復雜，
不能立即得出G（n）的一般表達式．于是，通過類比進一步考慮更簡單的問題，一直線至多被n個點分成的段數(shù)
S（n）．顯然，這個問題易解決．S（1）=2，S（2）=3，…，S（n）=n+1．
將以上討論的結果整理成下表：

分割元素的數(shù)目n	被割出的數(shù)目
	空間被平面F（n）	平面被直線G（n）	直線被點S（n）
1	2	2	2
2	4	4	3
3	8	7	4
4	？	11	5
…	？	？	…
n	？	？	n+1

觀察上表，發(fā)現(xiàn)G（n）和S（n）列中兩列數(shù)之和，等于G（n）的下一列中的數(shù)字；F（n）和G（n）列中的并列兩數(shù)
之和等于F（n）的下一行中的數(shù)字，于是歸納出一般的結論：G（n）=G（n-1）+S（n-1），
F（n）=F（n-1）+G（n-1）．
這個結論是否正確？如果正確，又應怎樣進行證明呢？
再從特殊情況進行分析：三條直線分成七個部分，第四條直線l與前三條直線均相交，三個交點為A₁，A₂，A₃．
直線l所穿過的區(qū)域均被l分為兩部分，于是增加的區(qū)域數(shù)就等于直線l穿過的區(qū)域數(shù)S（3），
而直線l穿過的區(qū)域數(shù)等于l被點A₁，A₂，A₃分成的段數(shù)S（3），于是，G（4）=G（3）+S（3）．
對n=4的分析，可以一字不差地適用于一般情況 G（n）=G（n-1）+S（n-1）的證明．
這樣，G（n）=G（n-1）+n，故 G(n)=

n2+n+2

2

=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

．
關于平面G（n）的表達式的推導也可以類比到三維空間，于是，F(xiàn)（n）=F（n-1）+G（n-1），F(n)=F(1)+

n-1

i=1

C

0 i

+

n-1

i=1

C

1 i

+

n-1

i-2

C

2 i

=2+(n-1)+

C

2 n

+

C

3 n

=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

（n≥3），
這樣，剛開始提出的三個問題均得到圓滿的解決．
當然，如果把S（n）=n+1記為S(n)=

C

0 n

+

C

1 n

，那么，由S（n），G（n）、F（n）的表達式可以
歸納出更一般的結論：
m維空間最多能被n個m-1維平面分割的區(qū)域數(shù)，

E

(n) m

=

C

0 n

+

C

1 n

+…

C

m n

．

點評：本題主要考查的知識點是歸納推理，由特殊的例子得到一般性的結論，屬于中檔題．本題較抽象，不易下手，易因為無法下手而導致解題失敗