Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的n∈N⁺，點（n，S_n）均在函數f（x）=2^x的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=log₂a_n，求使

1

b2b4

+

1

b4b6

+

1

b6b8

+…+

1

b2nb2n+2

+＜

10

21

成立的n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意得S_n=2ⁿ，由項與前n項的關系a_n=

s1             n=1 sn-sn-1 n≥2

得數列{a_n}的通項公式；
（2）由數列{a_n}的通項公式得b_n的表達式，把數列{b_n}中的每項都裂成兩部分，也就是差的形式，各項相加，可消項，最后只留兩項，代入不等式可求n的范圍，又n是正整數，可得n的最大值．

解答：解：（1）由題意得S_n=2ⁿ，則S_n-1=2^n-1（n≥2），
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2），
又a₁=S₁=2，∴a_n=

2      n=1 2n-1  n≥2

（2）∵b_n=log₂a_n=

1     n=1 n-1  n≥2

∴

1

b2nb2n+2

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴

1

b2b4

+

1

b4b6

+

1

b6b8

+…+

1

b2nb2n+2

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
∴

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

10

21

得n＜10
∴使

1

b2b4

+

1

b4b6

+

1

b6b8

+…+

1

b2nb2n+2

＜

10

21

成立的n的最大值為9．

點評：用到項與前n項和之間的關系，注意n=1的時候；用裂項法求和時，注意項的形式，分子上是一個常數，分母上可分解成兩個關于n的一次式相乘．