Question

已知，曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)分別與點(diǎn)、連線(xiàn)的斜率的乘積為．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，若曲線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，求證：．

Answer 1

（Ⅰ），．
（Ⅱ）由得，利用曲線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，，得到，利用，，及均值定理確定
，
從而證得． 

解析試題分析：（Ⅰ）設(shè)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為．利用依題意點(diǎn)分別與點(diǎn)、連線(xiàn)的斜率的乘積為，轉(zhuǎn)化成代數(shù)式，整理可得．
（Ⅱ）由得，利用曲線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，，得到，利用，，及均值定理確定
，
從而證得． 
試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為．
依題意，且，     ３分
整理得．所以，曲線(xiàn)的方程為：，．   5分
（Ⅱ）由得，
，        7分
由已知條件可知，，所以
，
從而，　　　即．                 13分
考點(diǎn)：1、求軌跡方程，2、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，3、均值定理的應(yīng)用.