Question

已知函數(shù)f（x）=(

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)|x-1|x∈R．若關(guān)于x的方程f²（x）-（a+1）f（x）+a=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：f²（x）-（a+1）f（x）+a=0等價(jià)于f（x）=1或f（x）=a，函數(shù)f（x）=(

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)|x-1|的值域?yàn)椋?，1]，根據(jù)關(guān)于x的方程f²（x）-（a+1）f（x）+a=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可得f（x）=a有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：f²（x）-（a+1）f（x）+a=0等價(jià)于f（x）=1或f（x）=a．
函數(shù)f（x）=(

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)|x-1|的值域?yàn)椋?，1]，則
∵關(guān)于x的方程f²（x）-（a+1）f（x）+a=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴f（x）=a有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴0＜a＜1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)綜合問題，考查方程的根，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．