Question

10．已知函數f（x）=ax²-2x+1在區間（-1，1）上只有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 先確定當a=0時，f（x）=-2x+1，其零點符合要求，再確定當a≠0時，方程ax²-2x+1=0在（-1，1）內恰有一解，即二次函數f（x）=ax²-2x+1在（-1，1）內恰有一個零點，結合二次函數的圖象特征建立不等關系f（-1）•f（1）＜0，求解即可．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=-2x+1，其零點為$\frac{1}{2}$∈（-1，1），
∴a=0成立；  
（2）當a≠0，∵方程ax²-2x+1=0在（-1，1）內恰有一解，
即二次函數f（x）=ax²-2x+1在（-1，1）內恰有一個零點，
∴f（-1）•f（1）＜0，
即（a+3）×（a-1）＜0，
解得：-3＜a＜1，
故a的取值范圍為（-3，1）．

點評 本題主要考查函數零點問題．注意零點不是點，是函數f（x）=0時x的值．