Question

若直線l：x=my+n（n＞0）過點A（4，4

3

），若可行域

x≤my+n 3 x-y≥0 y≥0

的外接圓的面積為

64π

3

，則實數n的值為（　�。�

• A、8
• B、7
• C、6
• D、9

Answer 1

分析：由直線l：x=my+n（n＞0）和直線

3

x-y=0均過點A（4，4

3

）作出可行域，由三角形外接圓的面積求出外接圓的半徑，由正弦定理求得|AB|，然后由兩點間的距離公式求得n的值．

解答：解：設l：x=my+n（n＞0）與x軸的交點為B（n，0），
∵直線l：x=my+n（n＞0）過點A（4，4

3

），

3

x-y=0也過點A（4，4

3

），
∴直線l：x=my+n（n＞0）經過一、二、四象限，∴m＜0．
∴可行域為△OAB，且∠AOB=60°，如圖，

∵可行域

x≤my+n 3 x-y≥0 y≥0

的外接圓的面積為

64π

3

，
∴△OAB外接圓的直徑為

16 3

3

．
由正弦定理得：

AB

sin60°

=2R=

16 3

3

，
∴AB=

16 3

3

×

3

2

=8．
由兩點間的距離公式得：

(4-n)2+(4 3 )2

=8，
解得：n=0（舍）或n=8．
故選：A．

點評：本題考查了二元一次不等式的幾何意義，是簡單的線性規劃問題，解答的關鍵是正確作出可行域，考查了正弦定理在解三角形中的應用，是中檔題．