Question

若直線l：x+my+c=0與拋物線y²=2x交于A、B兩點，O點是坐標原點．
（1）當m=-1，c=-2時，求證：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點；并求出這個定點坐標．
（3）當OA⊥OB時，試問△OAB的外接圓與拋物線的準線位置關系如何？證明你的結論．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

x+my+c=0 y2=2x

得y²+2my+2c=0，y₁+y₂=-2m  y₁y₂=2c，x₁+x₂=2m²-2c  x₁x₂=c²，
（1）當m=-1，c=-2時，要證OA⊥OB．只要證x₁x₂+y₁y₂=0 即可
（2）當OA⊥OB時，x₁x₂+y₁y₂=0 可求c，此時可求直線l：x+my-2=0及過的定點
（3）要判斷△OAB的外接圓與拋物線的準線位置關系，只要判斷圓心到準線的距離與半徑的大小即可

解答：解：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

x+my+c=0 y2=2x

得y²+2my+2c=0
可知y₁+y₂=-2m  y₁y₂=2c，x1x2=

1

2

y

2 1

• 1 2 y

2 2

=

1

4

×4c2=c2
∴x₁+x₂=2m²-2c，x1x2=

1

2

y

2 1

• 1 2 y

2 2

=

1

4

×4c2=c2
（1）當m=-1，c=-2時，x₁x₂+y₁y₂=0 所以OA⊥OB．
（2）當OA⊥OB時，x₁x₂+y₁y₂=0 于是c²+2c=0
∴c=-2（c=0不合題意），此時，直線l：x+my-2=0（3）過定點（2，0）．
（3）由（2）OA⊥OB，知c=-2
由題意AB的中點D（就是△OAB外接圓圓心）到原點的距離就是外接圓的半徑．D（m²-c，-m）
而（m²-c+

1

2

）²-[（m²-c）²+m²]=

1

4

-c=

9

4

∴圓心到準線的距離大于半徑，故△OAB的外接圓與拋物線的準線相離

點評：本題主要考查了直線與曲線方程的位置關系及方程思想的轉化，方程的根與系數的關系的應用，拋物線的定義的應用．綜合的知識的較多，還有具備一定的計算及推理的能力．