Question

14．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\overrightarrow m=（sinB，-2sinA）$，$\overrightarrow n=（sinB，sinC）$且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）若B=90°，且a=$\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據向量的數量積和正弦定理和夾角公式即可求出，
（Ⅱ）根據勾股定理和b²=2ac，可求出c的值，再根據三角形的面積公式計算即可

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m=（sinB，-2sinA）$，$\overrightarrow n=（sinB，sinC）$且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
∴sin²B-2sinAsinC=0，
由正弦定理：得：b²=2ac，
∵a=b，
∴a=2c，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{c}^{2}}{2ac}$=$\frac{c}{2a}$=$\frac{1}{4}$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=2ac，
當B=90°，b²=a²+c²=2ac，
∴a=c，
∵a=$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理和三角形的面積公式，考查了學生的運算能力，屬于中檔題