Question

已知函數f（x）=+n（m≠0）．
（I）若f（x）在x=1處取得極小值0，求實數m，n的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（I）求函數的導數，利用f（x）在x=1處取得極小值0，求實數m，n的值；
（Ⅱ）求導數，利用導數研究函數的單調性．
解答：解：（I）函數的導數為f'（x）=mx²-x，若f（x）在x=1處取得極小值0，則f'（1）=m-1=0，解得m=1，
且f（1）=0．所以，所以由f（1）=0，解得n=．
（Ⅱ）因為函數的導數為f'（x）=mx²-x=x（mx-1）=，對應方程的兩個根為0，．
若m＞0，則由f'（x）＞0，解得x或x＜0，此時函數單調遞增．由f'（x）＜0，解得0＜x＜，此時函數單調遞減．
若m＜0，則由f'（x）＞0，解得＜x＜0，此時函數單調遞增．x＜0，由f'（x）＜0，解得x＞0或x＜，此時函數單調遞減．
綜上若m＞0，函數的增區間為（-∞，0）和（），單調減區間為（0，）．
若m＜0，函數的增區間為（，0）．單調減區間為（-∞，）和（0，+∞）．
點評：本題主要考查了函數的極值和單調性與導數之間的關系，要求熟練掌握導數的應用．