Question

已知函數的圖象是自原點出發的一條折線．當時，該圖象是斜率為的線段（其中正常數），設數列由定義．  求：

求和的表達式；

求的表達式，并寫出其定義域；

 證明：的圖像與的圖象沒有橫坐標大于1的交點．

Answer 1

【小題1】依題意，又由，當時，函數的圖象是斜率為的線段，故由得

又由，當時，函數的圖象是斜率為的線段，故由

，即得

記由函數的圖象中第段線段的斜率為，故得

又

∴

由此知數列為等比數列，其首項為1，公比為

因，得 

即

【小題2】當時，從（1）可知，即當時，

當時，即當時，由（1）可知

為求函數的定義域，須對進行討論．

當時，

時，，也趨向于無窮大．

綜上，當時，的定義域為

當時，的定義域為

【小題3】證法1  首先證明當時，恒有成立．

對任意的，存在使，此時有

又

即有成立．

其次，當，仿上述證明，可知當時，恒有成立．

故函數的圖象與的圖象沒有橫會標大于1的交點．

解析:

本題主要考查函數的基本概念、等比數列、數列極限的基礎知識，考查歸納、推理和綜合的能力．

【小題1】由斜率分式求出，同樣由斜率公式求出關于的遞推式，然后求出，

【小題2】由點斜式求出段的的表達式，用極限的方法求出定義域．

【小題3】與沒有交點，只要時，或時恒成立，當，由于，只要證