Question

已知一扇形的面積S為定值，求當扇形的圓心角為多大時，它的周長最��？最小值是多少？

Answer 1

分析：設出半徑和圓心角，根據扇形的面積公式寫出θ的表示式，根據扇形的周長包括兩個半徑和一個弧長，把角的表示式代入，利用基本不等式得到最小值，并求出取到最小值時的圓心角．

解答：解：設半徑是r，圓心角是θ
則S=

1

2

r2θ
θ=

2s

r2

周長=2r+rθ=2r+

2s

r

≥4

s

當2r=

2s

r

即r²=S時取等號，此時θ=

2s

r2

=2
∴當扇形的圓心角為2rad時，
它的周長最小，最小值是4

S

．

點評：本題考查扇形的面積公式，考查利用基本不等式求函數的最小值，考查扇形的面積，扇形的弧長和扇形的圓心角之間的關系，是一個綜合題目．