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已知函數f(x)=x2-2alnx(a∈R),
(Ⅰ)求f(x)的單調區間;
(Ⅱ)設g(x)=f(x)+2x,若g(x)在[1,2]上單調遞增,求a的取值范圍.
考點:利用導數研究函數的單調性
專題:導數的綜合應用
分析:(I)f(x)=2x-
2a
x
=
2x2-2a
x
,(x>0).對a分類討論:當a≤0時,f′(x)>0,即可得出單調性;當a>0時,分別解出令f′(x)>0;令f′(x)<0,即可得出單調性.
(II)g(x)=f(x)+2x=x2-2alnx+2x,g′(x)=2x+2-
2a
x
=
2x2+2x-2a
x
.由于g(x)在[1,2]上單調遞增,g′(x)≥0在[1,2]上恒成立.轉化為a≤x2+x,x∈[1,2],利用二次函數的單調性即可得出.
解答: 解:(I)f(x)=2x-
2a
x
=
2x2-2a
x
,(x>0).
當a≤0時,f′(x)>0,函數f(x)在區間(0,+∞)上單調遞增.
當a>0時,令f′(x)>0,解得x>
a
,函數f(x)在區間(
a
,+∞)
上單調遞增;令f′(x)<0,解得0<x<
a
,函數f(x)在區間(0,
a
)
上單調遞減.
綜上可得:當a≤0時,函數f(x)在區間(0,+∞)上單調遞增.
當a>0時,函數f(x)在區間(
a
,+∞)
上單調遞增;函數f(x)在區間(0,
a
)
上單調遞減.
(II)g(x)=f(x)+2x=x2-2alnx+2x,
g′(x)=2x+2-
2a
x
=
2x2+2x-2a
x

由于g(x)在[1,2]上單調遞增,∴g′(x)≥0在[1,2]上恒成立.
∴a≤x2+x,
x2+x=(x+
1
2
)2-
1
4
,在x∈[1,2]上單調遞增,
∴(x2+x)min=2.
∴a≤2.
∴a的取值范圍是(-∞,2].
點評:本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、二次函數的單調性,考查了分類討論的思想方法,考查了恒成立問題的等價轉化方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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5
13
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,中位數為
 
,眾數為
 
,平均數為
 

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2
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1
4
,(A為銳角),cosB=
3
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D、sinA<cosB

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x2
12
+
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3
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