Question

下列命題中，真命題是（　　）

• A．存在x∈[0，

  π

  2

  ]，sinx+cosx≥2
• B．任意x∈(

  π

  2

  ，π)，tanx＞sinx
• C．存在x∈R，x²+x=-1
• D．任意x∈（3，+∞），x²＞2x+1

Answer 1

分析：根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，sinx+cosx的取值范圍，進(jìn)而判斷A的真假；
根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，分析出在x∈(

π

2

，π)時(shí)，tanx與sinx的大小，進(jìn)而判斷B的真假；
根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系，判斷方程x²+x=-1根的存在性，進(jìn)而判斷C的真假；
根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析不等式x²+x=-1是否恒成立，可判斷D的真假．

解答：解：當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，sinx+cosx∈[1，

2

]，而2∉[1，

2

]，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈(

π

2

，π)時(shí)，tanx＜0，sinx＞0，故tanx＜sinx恒成立，故B錯(cuò)誤；
方程x²+x+1=0的△=1-4=-3＜0，故方程無(wú)實(shí)根，故C錯(cuò)誤；
任意x∈（3，+∞），x²-2x-1=（x-1）²-2＞2＞0恒成立，即x²＞2x+1恒成立，故D正確
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根的個(gè)數(shù)判斷及二次不等式恒成立問(wèn)題，是方程、函數(shù)、不等式的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用．