Question

（2012•茂名二模）已知二次函數f（x）滿足：①當x=2時有極值；②圖象與y軸交點的縱坐標為-4，且在該點處的切線與直線4x+y-4=0平行．
（1）求f（-1）的值；
（2）若m∈R，求函數y=F（xlnx+m），x∈[1，e]的最小值；
（3）若曲線y=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點處的切線的斜率恒大于k³-k-4，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由圖象與y軸交點的縱坐標為-4可得：f（0）=-4，，利用在點（0，-4）處的切線與直線4x+y-4=0平行，即可求得函數解析式，從而可求f（-1）的值；
（2）y=f（xlnx+m）=（xlnx+m-2）²-8，令t=xlnx，則問題轉化為y=g（t）=（t+m-2）²-8（0≤t≤e）的最小值，求得函數的對稱軸，分類討論可求；
（3）f（lnx）=（lnx）^2-4lnx-4，令t=lnx，問題轉化為k³-k-4＜f'（t）恒成立，由此可求k的取值范圍．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由題意可得：f（0）=-4，∴c=-4 …（1分）
∴f'（x）=2ax+b
∵函數在x=2處有極值，
∴f'（2）=0，即4a=b=0   …（2分）
∵在點（0，-4）處的切線與直線4x+y-4=0平行
∴f'（0）=-4，即b=-4，故a=1…（3分）
∴f（x）=x²-4x-4，f（-1）=1+4-4=1．…（4分）
（2）∵f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8
∴y=f（xlnx+m）=（xlnx+m-2）²-8…（5分）
令t=xlnx
∴當x∈[1，e]時，t'=1+lnx≥1＞0
∴t=xlnx在x∈[1，e]上單調遞增，∴0≤t≤e…（6分）
∴y=g（t）=（t+m-2）²-8（0≤t≤e）
函數y=g（t）=（t+m-2）²-8（0≤t≤e）的對稱軸為t=2-m．…（7分）
①當2-m≤0，即m≥2時，函數y=g（t）在區間[0，e]單調增，所以y_min=g（0）=（m-2）²-8…（8分）
②當0＜2-m＜e，即2-e＜m＜2時，函數y=g（t）在頂點取得最小值，所以y_min=g（2-m）=-8…（9分）
③當2-m≥e，即m≤2-e時，函數y=g（x）在區間[0，e]單調遞減，所以y_min=g（e）=（e+m-2）²-8…（10分）
（3）f（lnx）=（lnx）^2-4lnx-4，令t=lnx，
∵x∈（1，+∞），
∴t＞0，∴f（t）=t²-4t-4，∴f'（t）=2t-4．…（11分）
∵t＞0，∴f'（t）＞-4．…（12分）
由題意得k³-k-4＜f'（t）恒成立，∴k³-k-4≤-4，∴k（k+1）（k-1）≤0，∴k≤-1或0≤k≤1，
∴k的取值范圍為k≤-1或0≤k≤1..…（14分）

點評：本題考查函數的解析式，考查函數的單調性，考查恒成立問題，利用換元將問題簡化是關鍵．