Question

已知cos（α-

β

2

）=-

3

5

，sin（

α

2

-β）=

12

13

，α∈（

π

2

，π），β∈（0，

π

2

），求 cos（

α+β

2

）的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦

專題：三角函數的求值

分析：由同角三角函數的基本關系可得sin（α-

β

2

）和cos（

α

2

-β），而cos（

α+β

2

）=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=cos（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）sin（

α

2

-β），代值計算可得．

解答： 解：∵α∈（

π

2

，π），β∈（0，

π

2

），
∴α-

β

2

∈（

π

4

，π），

α

2

-β∈（-

π

4

，

π

2

），
又∵cos（α-

β

2

）=-

3

5

，sin（

α

2

-β）=

12

13

，
∴sin（α-

β

2

）=

1-cos2(α- β 2 )

=

4

5

，
cos（

α

2

-β）=

1-sin2( α 2 -β)

=

5

13

，
∴cos（

α+β

2

）=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]
=cos（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）
=-

3

5

×

5

13

+

4

5

×

12

13

=

33

65

．

點評：本題考查和差角的三角函數公式，涉及同角三角函數的基本關系，屬中檔題．