Question

【題目】已知拋物線，點

（1）求點與拋物線的焦點的距離；

（2）設斜率為的直線與拋物線交于兩點，若的面積為，求直線的方程；

（3）是否存在定圓，使得過曲線上任意一點作圓的兩條切線，與曲線交于另外兩點時，總有直線也與圓相切？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在實數

【解析】

（1）由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，再根據兩點間的距離公式，即可求出距離；

（2）設直線的方程為，代入拋物線的方程，由弦長公式求出，點到直線的距離公式求出的高，再依據三角形的面積公式，解方程可得，進而得到直線方程；

（3）假設存在，根據一般到特殊的原理，取，設切線為，聯立拋物線方程，求出點以及直線，由相切可得．再由特殊到一般，證明對任意的動點，直線與圓相切，即可說明存在，使得直線與圓相切．

（1）拋物線的焦點坐標為，

則點與拋物線的焦點的距離為．

（2）設直線的方程為，

把方程代入拋物線，可得，

，，

，

點到直線的距離，

，

解得，所以直線的方程．

（3）假設存在．取，圓，設切線為，

由，解得，①

將直線代入拋物線方程，

解得，，

直線的方程為，

若直線和圓相切，可得②

由①②解得，．

下證時，對任意的動點，直線和圓相切．

理由如下：設，， ，

由，可得，

，，

又直線與曲線相交于，，

由，代入拋物線方程可得，

可得，，

則，是方程的兩根，

即有，即，同理．

則有，，

直線，

即為，

則圓心到直線的距離為

，

由，

代入上式，化簡可得，

則有對任意的動點，存在實數，使得直線與圓相切．