Question

如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

                                 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角的大小為

【解析】依題設(shè)，，．

（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則．

由三垂線定理知，．························ 1分

在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，

由于，

故，，

與互余．

于是．……………………..2分

與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，…………….3分

所以平面．··························· 4分

（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，

故是二面角的平面角．·················· 5分

，

，．…………..6分

，．

又，…………. 7分．

．

所以二面角的大小為．················· 8分

解法二：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

依題設(shè)，．

，．·········· 2分

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052106233434377973/SYS201205210624385468142634_DA.files/image046.png">，，

故，．…………..3分

又，

所以平面．··························· 4分

（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則

，．

故，．

令，則，，．················· 6分

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小為．……….   8分