Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：的右準線方程為x＝4，右頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，斜率為2的直線l經過點A，且點F到直線l的距離為.

(1)求橢圓C的標準方程．

(2)將直線l繞點A旋轉，它與橢圓C相交于另一點P，當B，F，P三點共線時，試確定直線l的斜率．

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)設出直線l的方程，利用點到直線的距離公式得出，再由橢圓的準線方程得出，聯立求解即可得出橢圓方程；

(2)求出直線BF的方程，聯立橢圓方程與直線BF的方程，求出點P的坐標，再由A，P兩點的坐標求出斜率即可.

解：(1)由題意知，直線l的方程為，即，

所以右焦點F到直線l的距離為，所以——①

又橢圓C的右準線方程為x＝4，即，所以——②

聯立①②解得a＝2，c＝1所以

所以橢圓C的標準方程為.

(2)由(1)知．

所以直線BF的標準方程為

聯立方程組，得

解得或(舍)．

即 ，所以直線l的斜率.