Question

與拋物線y²=x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，并且過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線方程為

x-2y+1=0或y=1

．

Answer 1

分析：當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1，代入拋物線y²=x，得k²x²+（2k-2k²-1）x+k²-2k+1=0，由直線與與拋物線y²=x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，解得k=

1

2

，故直線方程為x-2y+1=0．當(dāng)k不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線方程為y=1，也滿足條件．

解答：解：當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1，
代入拋物線y²=x，得
k²（x-1）²+2k（x-1）+1=x，
整理，得k²x²+（2k-2k²-1）x+k²-2k+1=0，
∵直線與與拋物線y²=x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=（2k-2k²-1）²-4k²（k²-2k+1）=0，
整理，得4k²-4k+1=0，解得k=

1

2

，
∴直線方程為y=

1

2

（x-1）+1，即x-2y+1=0．
當(dāng)k不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線方程為y=1，也滿足條件．
∴所求的直線方程為：x-2y+1=0或y=1．
故答案為：x-2y+1=0或y=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，具體涉及到拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、根的判別式、直線與拋物線的位置關(guān)系等基本知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．