Question

過點P（0，1）與拋物線y²=x有且只有一個交點的直線有（ ）
A．4條
B．3條
C．2條
D．1條

Answer 1

【答案】分析：過點P（0，1）的直線與拋物線y²=x只有一個交點，則方程組只有一解，分兩種情況討論即可：（1）當該直線存在斜率時；（2）該直線不存在斜率時；
解答：解：（1）當過點P（0，1）的直線存在斜率時，設其方程為：y=kx+1，
由，消y得k²x²+（2k-1）x+1=0，
①若k=0，方程為-x+1=0，解得x=1，此時直線與拋物線只有一個交點（1，1）；
②若k≠0，令△=（2k-1）²-4k²=0，解得k=，此時直線與拋物線相切，只有一個交點；
（2）當過點P（0，1）的直線不存在斜率時，
該直線方程為x=0，與拋物線相切只有一個交點；
綜上，過點P（0，1）與拋物線y²=x有且只有一個交點的直線有3條．
故選B．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系與分類討論思想，解決基本方法是：（1）代數法，轉化為方程組解的個數問題；（2）幾何法，數形結合；