Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點是F(-

3

，0)，且離心率e=

3

2

（1）求橢圓C方程；
（2）（8分）過點A（0，-2）且不與y軸垂直的直線l與橢圓C相交于不同的兩點P，Q，若

OM

=

OP

+

OQ

所對應的M點恰好落在橢圓上，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意得 c=

3

離心率e=

3

2

以及b²=a²-c²由此能求出所求橢圓的標準方程．
（2）首先設設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再由直線過過點A（0，-2），寫出點斜式方程，然后聯立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理求出
x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，進而根據

OM

=

OP

+

OQ

能夠得出(

16k

1+4k2

)2+(

4

1+4k2

)2=4，從而求出k和直線方程．

解答：解：（1）由題圖得c=

3

，將c=

3

代入

c

a

=

3

2

得a=2，
所以b2=a2-c2=22-(

3

)2=1；所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l的方程為y=kx-2，聯立得

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，
得（1+4k²）x²-16kx+12=0，因為x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

所以

OM

=

OP

+

OQ

=(x1，y1)+(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)=(

16k

1+4k2

，-

4

1+4k2

)
從而有(

16k

1+4k2

)2+(

4

1+4k2

)2=4，所以16k⁴-56k²-15=0，所以k=±

15

2

所以直線l的方程為y=±

15

2

x-2

點評：本題考查了橢圓的標準方程以及直線與圓錐曲線問題，（1）問一般采取待定系數法求解，屬于中檔題．