Question

10．已知關于θ的方程$\sqrt{3}sinθ+cosθ+a=0$在區間（0，2π）上有兩個不相等的實數根α、β，則sin（α+β）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意變形可得a=-2sin（α+$\frac{π}{6}$）=-2sin（β+$\frac{π}{6}$），利用正弦函數的圖象和性質可求對稱軸，進而可求α+β的值，即可得解．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sinθ+cosθ+a=0，
∴a=-（$\sqrt{3}$sinθ+cosθ）=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），
由題意可得a=-2sin（α+$\frac{π}{6}$）=-2sin（β+$\frac{π}{6}$），
∴α，β關于$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$對稱，
∴α+β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{8π}{3}$，
∴sin（α+β）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數公式，正弦函數的圖象和性質的應用，考查了數形結合思想，屬于中檔題．