Question

已知公比為q的等比數列{a_n}（n∈N^*）中，a₂=2，前三項的和為7．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若0＜q＜1，設數列{b_n}滿足b_n=a₁•a₂…a_n，n∈N^*，求使0＜b_n＜1的n的最小值．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知可得a₁和q的方程組，解方程組代入通項公式可得；
（Ⅱ）由題意易得a_n=（

1

2

）^n-3，可得b_n=(

1

2

)

n(n-5)

2

，由題意可得n的不等式，解不等式可得．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

a2=a1q=2 a1+a1q+a1q2=7

，
解得a₁=1且q=2，或a₁=4且q=

1

2

，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1或a_n=（

1

2

）^n-3；
（Ⅱ）∵0＜q＜1，∴a_n=（

1

2

）^n-3；
∴b_n=a₁•a₂…•a_n=（

1

2

）^{-2-1+0+…+n-3}=(

1

2

)

n(n-5)

2

；
由0＜b_n＜1，即0＜(

1

2

)

n(n-5)

2

＜1，

n(n-5)

2

＞0，
解得n＞5，∴使0＜b_n＜1的n的最小值為6

點評：本題考查等比數列的性質，涉及等比數列的通項公式和求和公式，屬中檔題．