Question

已知橢圓，其相應于焦點F(2，0)的準線方程為x=4.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知過點F₁(-2,0)傾斜角為的直線交橢圓C于A，B兩點.

　　　　求證：

（Ⅲ）過點F₁(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點A、B和D、E，求的最小值.

Answer 1

本題主要考查直線的方程、橢圓的方程和性質、直線與橢圓的位置關系的知識.考查數形結合的數學思想以及運算能力和綜合解題能力.

解 ：（1）由題意得：

                

           橢圓的方程為

       (2)方法一：

         由（1）知是橢圓的左焦點，離心率

         設為橢圓的左準線。則

         作，與軸交于點H(如圖)

         點A在橢圓上

       

              

              

       

       同理

       。

方法二：

      當時，記，則

      將其代入方程   得

      設  ，則是此二次方程的兩個根.

     

     

             ................(1)

      代入（1）式得       ........................(2)

      當時，  仍滿足（2）式。

     

（3）設直線的傾斜角為，由于由（2）可得

                ，

   

    當時，取得最小值