Question

已知橢圓，其相應于焦點F(2，0)的準線方程為x=4.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知過點F₁(-2,0)傾斜角為的直線交橢圓C于A，B兩點.

求證：

（Ⅲ）過點F₁(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點A、B和D、E，求的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得：

，

∴橢圓C的方程為。

（Ⅱ）方法一：

由（Ⅰ）知，是橢圓C的左焦點，離心率

設為橢圓的左準線，則，

作于，于，與軸交于點H（如圖）

∵點A在橢圓上，

∴

∴

同理

∴。

方法二：

當時，記，則AB，

將其代入方程

得

設，則是此二次方程的兩個根。

∴，

①

∵，代入①式得②

當時，仍滿足②式

∴

（Ⅲ）設直線AB的傾斜角為，由于，由（Ⅱ）可得，

，

當或，取得最小值。